法庭统计学辅助证据评价与分析
概率表述体系与贝叶斯推理
1 法庭科学/司法鉴定中的不确定性
1.1 实践中”不确定性”的多重含义
司法鉴定专业人员根据法院提供的资料，得出的”某一结论成立的可能性”；
法院根据鉴定人员出具的”可能的结论”，认定”某一构成要件事实存在的可能性”；
法院对司法鉴定人员所用方法及得出的结论的信任程度
1.2 不确定性的分类
根据证据评价与分析工作流程的不同环节，不确定性可以分为两类：一是证据评价中的不确定性；二是证据分析中的不确定性。
证据评价工作中的不确定性，是存在于鉴定意见生产过程中的不确定性，体现在鉴定报告中，由专业的鉴定人员给出。
证据分析环节中在形成推理链过程中的不确定性，是存在于鉴定意见使用过程中的不确定性，由具体使用者（如法官等）给出。
1.3 不确定性的量化
“不确定性”本质上是一种”可能性” (possibility), 其量化测度是概率 (probability)。
证据评价中的不确定性量化：鉴定意见的概率表述体系。
证据分析中的不确定性量化：贝叶斯推理（贝叶斯信念更新）。
理论基础及方法支持：概率论与法庭统计学
2 法庭统计学
2.1 法庭统计学的含义
法庭统计学 (Forensic Statistics) 是统计学的一个重要应用分支，它从法庭科学（司法鉴定）领域内的实际问题出发，以概率论为理论基础，以刑事案件物证的量化分析、证据评价方法和鉴定意见表述为核心研究对象，为保障和提升鉴定可靠性提供日益完善的统计模型和推断方法，服务于司法裁决，支持着司法鉴定制度与标准化建设，促进司法鉴定公信力的提升。
“Statisticians and Forensic Science: A Perfect Match”——Karen Kafadar, 2016, CHANCE.
2.2 法庭统计学的源流
1977年英国著名统计学家Dennis V. Lindley于上世纪70年代首次提出将”贝叶斯因子”（似然比）作为DNA证据价值的度量(LINDLEY 1977)；
统计学在法庭科学中的有限参与：如，DNA匹配。
纳入技术标准的需求：
2009美国国家科学院报告《强化法庭科学：未来之路》，由包括”应用与理论统计学委员会”在内的多个专家委员会共同编写(NRC 2009)
2015版《ENFSI 法庭科学评价报告指南》
证据评价的统计学方法持续研究：例如，用于形态特征证据的基于相似度分数的似然比法。
专门研究机构和成果汇编：
2015年由美国国家标准与技术研究院（NIST）和六所美国高校合作共建了法庭证据统计与应用中心（Center for Statistics and Applications in Forensic Evidence，简称CSAFE），该中心是法庭统计学的专门研究机构，致力于法庭统计学理论方法及其在法庭科学各领域应用，进行中的项目涵盖各类证据评价方法、法庭统计学科普、从业人员培训等诸多方面;
2021年《法庭统计学手册》(Handbook of Forensic Statistics) (Banks 2020)
3 概率表述体系
3.1 单项证据的统计假设和似然比
单项待评价证据\(E\)，此处不考虑其他可控的附加背景信息\(I\)，例如物证采集所用的工具和材料。
首先列出互斥的主张（即控辩双方的主张）\(H_p\)和\(H_d\), 则在\(H_p\)和\(H_d\) 各自成立的条件下获得该证据 \(E\) 的概率分别记作\(P(E \vert H_p)\) 和\(P(E \vert H_d)\) ，这两个条件概率之比 \(\frac{P(E \vert H_p)}{P(E \vert H_d)}\)，定义为似然比 (Likelihood-Ratio, 简称LR)1，用来衡量该项证据对于控辩双方主张的相对支持程度，是包含不确定性的证据价值的度量。
在似然比的具体计算中， \(\frac{P(E \vert H_p)}{P(E \vert H_d)}\)中分子分母均为条件概率，不同的条件\(H_p\)和\(H_d\) 意味着不同的模型，即不同的概率分布和其中相应的参数，记作 \(\Theta_{H_p}\) 和 \(\Theta_{H_d}\)，收集到的证据 \(E\) 对应着服从概率分布的观测值向量 \(y\)，由此以似然比 (LR) 表示的该项证据的价值，可由以下公式计算得出，
\[LR=\frac{f(y \vert \Theta_{H_p})}{f(y \vert \Theta_{H_d})},\]
其中 \(f(\cdot)\) 表示概率密度函数。
3.2 数值型结论与描述型结论之间的对应
| 支持程度 | LR数值区间 |
|---|---|
| 不支持 | \(1<LR\leq 2\) |
| 弱 | \(2<LR\leq 10\) |
| 一般 | \(10<LR\leq 100\) |
| 较强 | \(100<LR\leq 1000\) |
| 强 | \(1000<LR\leq 10000\) |
| 很强 | \(10^4<LR\leq 10^6\) |
| 极强 | \(LR> 10^6\) |
3.3 基于相似度分数的似然比
形态特征证据价值的近似量化（高维推断问题），例如，指纹、足迹、笔迹等以形态特征为主的证据。
基于相似度分数的似然比(score-based likelihood ratios, SLRs)
\[SLR=\frac{f\left(\Delta\left(E_x,\ E_y\right)\ \middle|\ H_p,\ \ I\right)}{f\left(\Delta\left(E_x,E_y\right)\ \middle|\ H_d,\ \ I\right)}\]
其中，\(\Delta\left(E_x,\ E_y\right)\) 表示不同来源证据异同程度的相似度分数（similarity-score）。
4 贝叶斯推理与信念更新
4.1 基本概念
理解”概率”：频率vs. 信念
频度学派 (frequentist): 概率是多次重复试验的稳定频率或比率（强大数定理, strong law of large numbers）
贝叶斯学派 (Bayesian): 概率是信念，是个人的主观的相信程度 (degree-of-belief)。
“主观”不代表片面或错误，初始信念可以无信息，会被证据价值更新。
4.2 贝叶斯推理
“当你排除了一切不可能情况，那么剩下的，无论多么令人难以置信，它都是真相。”——亚瑟·柯南·道尔《福尔摩斯探案集·四签名》
引言对应的贝叶斯推理(Kadane 2009)：有\(H_1, \ldots, H_k\)互斥且完备 (exclusive & exhaustive) 的结论，其中，\(H_1\)是”令人难以置信的”结论，余下\(H_2, \ldots, H_k\)是已经根据信息（数据）\(X\)“排除了的”结论，即有
\[ P(X\vert H_i)=0, \quad i= 2,\ldots,k,\\ P(X\vert H_1)\neq 0 \]
则有
\[ P(H_1\vert X)=\frac{P(X \vert H_1) P(H_1)}{\sum_{i=1}^{k}P(X \vert H_i) P(H_i)}=1 \]
使用贝叶斯公式推理得出，无论先验概率\(P(H_1)\)取值多么小，在此情景下的后验概率\(P(H_1\vert X)\)都是1.
4.3 贝叶斯信念更新
\[\frac{P( H_p\vert E )}{P(H_d\vert E)}=\frac{P(E \vert H_p)}{P(E \vert H_d)}\frac{P( H_p)}{P( H_d)}\]
Dennis V. Lindley提出，贝叶斯更新的思想可以辅助证据推理与司法裁决：将先验信念记作 \(o(G)=\frac{P( H_p)}{P( H_d)}\), 则贝叶斯更新公式可以简写作
\[o(G\vert E)=\frac{P(E \vert H_p)}{P(E \vert H_d)}o(G)\]
注：更新后的信念（后验概率比）会作为下一次更新的初始信念。多个相互独立的证据价值的整体影响（称作综合似然比）是各个证据的似然比之积2。
由贝叶斯信念更新还可以看出，证据评价工作对后续的证据分析与推理工作有着重要而深远的影响：以无偏向的初始信念为例，更新后的后验概率比从数值上等于相关证据价值的似然比之积。
4.4 其他贝叶斯分析工具
贝叶斯决策：结合效用理论，选取”最佳裁决” (optimum sentense).
贝叶斯网络：多重证据，复杂关系。
贝叶斯决策网络（又名”影响图”）：加入决策节点。
参考文献
Footnotes
理论上这一形式应被称作”贝叶斯因子” (Bayes Factor, 简称BF)，且与似然比有理论上的区别，但实践中可以混用或统称为”似然比”(Ommen and Saunders 2021)↩︎
此处不讨论不具备条件独立性的复杂多重证据关系。↩︎